ALJABAR BILANGAN KOMPLEKS

CONTOH SOAL 1

Jika z1 = -1-I, buktikan bahwa z2 + 2z + 2 = 0

Jawab :

z2 + 2z + 2 = (-1-i)2 + 2(-1-i) + 2 = 1 + 2i + i2 – 2 – 2i +2 = -1-1 + 2 = -2 +2 = 0.

CONTOH SOAL 2

Ubahlah bilangan kompleks berikut dalam bentuk x + yi

  1. (5 – 2i) + (2 + 3i)
  2. (2 – i) – (6 – 3i)
  3. (2 + 3i).(-2 – 3i)

Jawab :

  1. (5 – 2i) + (2 + 3i) = ( (5 + 2) + (-2 + 3)i ) = (7 + i)
  2. (2 – i) – (6 – 3i) = ( (2 – 6) + (-1 + 3)i ) = (-4 + 2i)
  3. (2 + 3i).(-2 – 3i) = (2.-2 + 2.-3i – 2.3i + 3i.-3i) = (-4 -6i-6i-9i2) = (-4 -12i + 9) = (5 – 12i)

 

ALJABAR BILANGAN KOMPLEKS

THEOREMA 1

Himpunan bilangan kompleks Z memenuhi sifat – sifat Field yaitu :

  1. Setiap z1, z2 elemen Z, maka dapat berlaku z1 + z2 elemen Z dan z1.z2 elemen Z.
  2. Setiap z1, z2 elemen Z, maka dapat berlaku z1 + z2 = z2 + z1  dan z1.z2 = z2.z1.
  3. Setiap z1, z2, z3  elemen Z, maka dapat berlaku z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2)+ z3 dan z1.(z2.z3) = (z1.z2). z3.
  4. Setiap z1, z2, z3  elemen Z, maka dapat berlaku z1.(z2 + z3) = (z1.z2)+ (z1.z3).
  5. Terdapat 0 = (0,0) elemen Z sedemikian hingga setiap z elemen Z, maka dapat berlaku z + 0 = 0 + z = z.
  6. Terdapat 1 = (1,0) elemen Z sedemikian hingga setiap z elemen Z, maka dapat berlaku z.1 = 1.z = z.
  7. Setiap z = (x,y) elemen Z, terdapat – z =( -x,-y ) elemen Z, sedemikian hingga z + (-z) = (-z) + z = 0.
  8. Setiap z = (x,y) elemen Z, terdapat z-1=  (x/(x^2+y^2 );(-y)/(x^2+y^2 )) elemen Z sedemikian hingga z.z-1 = z-1z = 1

THEOREMA 2

Jika z adalah bilangan kompleks, maka :

  1. z + ẕ = 2 Re (z)
  2. z – ẕ = 2 Im (z)
  3. z.ẕ = (Re (z))2 + (Im (z))2

Bukti :

  1. z + ẕ = (x + yi) + (x – yi) = (x + x) + (y – y)i = 2x + 0i = 2x = 2 Re (z).
  2. z – ẕ = (x + yi) – (x – yi) = (x – x) + (y + y)i = 0 + 2yi = 2yi = 2 Im (z).
  3. z.ẕ = (x + yi).(x – yi) = x2 – xyi + xyi – yi2 = x2 – y2 = (Re (z))2 + (Im (z))2.

 

ALJABAR BILANGAN KOMPLEKS

DEFINISI 1

Bilangan kompleks adalah pasangan terurut dari 2 bilangan riil x dan y yang dinyatakan oleh (x,y). Bilangn kompleks biasa ditulis :

z = (x,y) artinya z = x + yi, dengan nilai i=√(-1) atau i= -1. Dimana x merupakan bagian riil = Re(z) dan yi merupakan bagian imaginer = Im (z).

Contoh :

Z1 = 1 = (1,0) = 1 + 0i

Z2  = -5 = (-5,0) = -5 + 0i

Z3 = -3i = (0,-3) = 0 – 3i

DEFINISI 2

Dua bilangan kompleks Z1 = (x1,y1) dan Z2 = (x1,y1) dikatakan sama ditulis Z1= Z2 , jika  x1 = x2 dan y1 = y2.

Z  = 0 = (0,0) = 0 + 0i artinya x = 0 dan y = 0.

Z1 + Z2 = (x1,y1) + (x2,y2) = (x1 + y1i) + (x2 + y2i) = (x1 + x2) + (y1i + y2i) = (x1 + x2,y1i + y2i).

Jadi,       Z1 + Z2 = (x1 + x2,y1i + y2i)

Z1.Z2       = (x1 + y1i)(x2 + y2i) = x1x2 + x1y2i + y1ix2 + y1y2i2 = x1x2 + (x1y2 + x2y1)i – y1y2 = (x1x2 – y1y2) + (x1y2 + x2y1)i = (x1x2 – y1y2,x1y2 + x2y1).

Jadi,      Z1.Z2 = (x1x2 – y1y2,x1y2 + x2y1)
DEFINISI 3

Jika z = (x,y) = x + yi maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis ẕ dan di definisi ẕ = (x, – y) = x – yi.